Matrices

 

Matrices

Hola, amigos quiero darles la bienvenida a mi Blogger educativo de matemática en el que les voy a explicar todo sobre las matrices: concepto, tipos, métodos, soluciones y ejercicios, espero que les guste y que con esto puedan guiarse y aprender.

Ayúdame comentando. Gracias 

Introducción 

Una matriz es una  tabla cuadrada o rectangular de números ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. Las matrices tienen diferentes tipos al igual que diferentes métodos para ser resueltos y cada uno tiene su propio proceso también sirven para registrar datos de diferentes parámetros 

Objetivo

El objetivo de este blog es ayudar a los estudiantes de cursos inferiores a poder resolver ejercicios del cálculo de una matriz inversa y solución de un sistema de ecuaciones de 4x4 con diferentes métodos que existen.

¿Qué es una matriz?

Una matriz es un conjunto ordenado en una estructura de filas y columnas. Normalmente las matrices son designadas por letras mayúsculas. Los elementos de una matriz se identifican por la fila y la columna que ocupan. El número de filas y columnas que tiene una matriz se llama dimensión de la matriz.

Las dimensiones de una matriz siempre se dan con el número de filas primero y el número de columnas después. Casi siempre se denotan a las matrices con letras mayúsculas. Las matrices se utilizan para describir sistemas de ecuaciones lineales, y registrar los datos que dependen de varios parámetros.

Tipos de matrices 

  - La matriz nula es la que tiene todos los elementos cero, Por ejemplo: 

-       -  La matriz fila la que sólo tiene una fila, es decir su dimensión es (1xn). Por ejemplo:

-       -  La matriz columna la que sólo consta de una columna, es decir su dimensión será (mx1), como, por ejemplo:

 

        - La matriz es cuadrada es cuando tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir su dimensión es (nxn)

-      - La matriz es rectangular si no es cuadrada, es decir, tiene diferente número de filas que de columnas

-         - La matriz diagonal principal  es una línea recta imaginaria con pendiente negativa que empieza por el extremo superior izquierdo y acaba en el extremo inferior derecho de la matriz. 

          -  La Matriz diagonal secundaria contiene los elementos que van desde la esquina superior derecha hasta la esquina inferior izquierda.

-  

-       - La matriz triangular inferior si son nulos todos los elementos situados por encima de dicha diagonal. Son ejemplos de estas matrices

-         - Matriz de unidad o identidad si una matriz tiene en su diagonal principal sólo unos. Se suelen representar por In.

 

¿Cuáles son los métodos?

      - Suma: La operación se define de una manera muy sencilla: la matriz suma de dos matrices con la misma dimensión es la matriz que tiene en la posición fila i y columna j la suma de los elementos de la misma posición en las matrices que sumamos. Es decir, la suma de matrices se calcula sumando los elementos que ocupan la misma posición.

Propiedades de la suma: 

Propiedad conmutativa de la suma	${A}+{B}={B}+{A}$A, plus, B, equals, B, plus, A
Propiedad asociativa de la suma	${A}+({B}+{C})=({A}+{B})+{C}$A, plus, left parenthesis, B, plus, C, right parenthesis, equals, left parenthesis, A, plus, B, right parenthesis, plus, C
Propiedad de la identidad aditiva	Para cualquier matriz $A$A, hay una única matriz $O$O tal que $A+O=A$A, plus, O, equals, A.
Propiedad del inverso aditivo	Para cada $A$A, hay una única matriz $-A$minus, A tal que $A+(-A)=O$A, plus, left parenthesis, minus, A, right parenthesis, equals, O.
Propiedad de cerradura de la suma	$A+B$A, plus, B es una matriz de las mismas dimensiones que $A$A y $B$B.

    - Resta: La resta de dos o más matrices es restar los elementos que tengan la misma posición dentro de las matrices y que estas tengan el mismo orden.

     - Multiplicación:

Producto de matrices (fila por columna):

La fila de la matriz $A$ tiene 3 elementos (3 columnas) y la columna de la matriz $B$ también tiene 3 elementos (3 filas).

El resultado de la multiplicación $A\cdot B$ es la suma del primer elemento de $A$ por el primero de $B$ más el segundo elemento de $A$ por el segundo de $B$ más el tercer elemento de $A$ por el tercero de $B$:

Propiedades de la multiplicación:

La propiedad conmutativa de la multiplicación $\small{\red{\text{¡no se cumple!}}}$start color #df0030, start text, ¡, n, o, space, s, e, space, c, u, m, p, l, e, !, end text, end color #df0030	$AB\neq BA$A, B, does not equal, B, A
Propiedad asociativa de la multiplicación	$(AB)C=A(BC)$left parenthesis, A, B, right parenthesis, C, equals, A, left parenthesis, B, C, right parenthesis
Propiedades distributivas	$A(B+C)=AB+AC$A, left parenthesis, B, plus, C, right parenthesis, equals, A, B, plus, A, C
	$(B+C)A=BA+CA$left parenthesis, B, plus, C, right parenthesis, A, equals, B, A, plus, C, A
Propiedad de la identidad multiplicativa	$IA=A$I, A, equals, A and $AI=A$A, I, equals, A
Propiedad multiplicativa de cero	$O A=O$O, A, equals, O y $AO=O$A, O, equals, O
Propiedad de la dimensión	El producto de una matriz de $m\times n$m, times, n por una matriz de $n\times k$n, times, k es una matriz de $m\times k$m, times, k.

Matriz inversa 

El producto de una matriz por su inversa es igual a la matriz identidad

Propiedades de la matriz inversa

Los métodos son: 

  

- Determinantes: La función determinante se define para matrices cuadradas.

La matriz cuadrada de dimensión 3 tiene la forma

Regla: calculamos el determinante mediante la llamada regla de Sarrus. Una forma de aplicar la regla de Sarrus es escribir las tres columnas de la matriz seguidas de la primer y la segunda columna:

Los elementos de las diagonales con flecha hacia abajo (azul) se multiplican y se suman; los de las otras diagonales (rojo) se multiplican y se restan:

 Ejemplo:

 - Definición: 

Ejemplo1:

 Supongamos que nos piden calcular la inversa de la matriz 

 1) Asignamos a los elementos de la matriz inversa (que desconocemos) letras: a, b, c,

 2) Planteamos la igualdad de la definición:

 3) Resolvemos el producto de matrices 

 4) Igualamos elemento a elemento.

  

5) Resolvemos los sistemas de ecuaciones resultantes


Por tanto, la inversa es 


Ejemplo 2:

- Gauss Jordan

Escribimos una matriz doble que contiene a la matriz AA en un lado y a la matriz identidad en el otro. Por ejemplo:


 Realizamos operaciones elementales fila para transformar la matriz AA en la identidad. En el ejemplo, es suficiente restar la fila 2 a la fila 1:

Al terminar, por lo que dijimos anteriormente, la matriz B del lado derecho es, precisamente, la inversa de A: B=A^−1

$B=A^{-1}$$A$

Sistema de ecuaciones 

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas en la que deseamos encontrar una solución común.

Cualquier sistema de ecuaciones lineales puede escribirse siempre en forma matricial de la siguiente forma:

donde A es la matriz de los coeficientes, X la matriz de las incógnitas y B la matriz de los términos independientes.

Así, por ejemplo, el sistema de ecuaciones lineales:

Ejemplo 1: 

Link de mi video en youtube:

Inversa por definición

 https://youtu.be/EYqGHa_jxGY

Sistema de Ecuaciones:

 https://www.youtube.com/watch?v=ri7cltZzXCM&feature=youtu.be

 

Matriz inversa por determinantes 

https://www.youtube.com/watch?v=TAb19hbqa_w&feature=youtu.be

 

Matriz inversa por Gauss Jordan 

 https://www.youtube.com/watch?v=HGM2vV3ck4Q&feature=youtu.be

Recomendaciones

Mis recomendaciones para los estudiantes es que se aprendan los tipos y procesos de cada matrices para que puedan resolverlas y realizar varios ejercicios con diferente dificultad para un mejor conocimiento, atender al profesor al momento de la explicación o revisar videos para comprender 

Conclusión

Una matriz es una tabla de números ordenados por filas y columnas que tienen diferentes tipos, métodos y procesos entre los principales tipos están: fila, columna, nula, diagonal principal, diagonal secundaria, identidad y triangular superior. Entre los métodos están: suma, resta, multiplicación, definición , determinantes, Gauss Jordan y sistema de ecuaciones. Las matrices son importantes ya que nos vuelven más ágiles par nuestro dia a dia. 

Referencias:

Identificar las características de una matriz. (17 de octubre de 2012). Obtenido de slideshare: https://es.slideshare.net/profe.gguacaran/identific (Rodó, Resta de matrices, s.f.)ar-las-caractersticas-de-una-matriz

Fredy. (20 de julio de 2010). Metodos de matrices. Obtenido de slideshare: https://es.slideshare.net/freysan/metodos-de-matrices

Avendaño, A. (s.f.). Matriz: suma y resta. Obtenido de GeoGebra: https://www.geogebra.org/m/NPAsJ6se#:~:text=%EF%BB%BFPara%20poder%20sumar%20o,se%20pueden%20sumar%20ni%20restar

Diagonal principal y secundaria de una matriz en Java. (3 de mayo de 2018). Obtenido de Mas que programar : https://masqueprogramar.wordpress.com/2018/05/03/diagonal-principal-secundaria-matriz-java/

Fredy. (20 de julio de 2010). Metodos de matrices. Obtenido de slideshare: https://es.slideshare.net/freysan/metodos-de-matrices

Identificar las características de una matriz. (17 de octubre de 2012). Obtenido de slideshare: https://es.slideshare.net/profe.gguacaran/identificar-las-caractersticas-de-una-matriz

Llopis, J. (s.f.). Cálculo de determinantes de matrices. Obtenido de matefacil: https://www.matesfacil.com/matrices/resueltos-matrices-determinantes.html

Llopis, J. (s.f.). Matriz inversa por Gauss. Obtenido de matesfacil: https://www.matesfacil.com/matrices/calcular-matriz-inversa-metodo-Gauss-operaciones-filas-identidad-matrices-ejemplos.html

Llopis, J. (s.f.). Suma, producto por un escalar y transpuesta (matrices). Obtenido de matesfacil: https://www.matesfacil.com/matrices/resueltos-matrices-suma.html

Marta. (1 de junio de 2019). Calcular la inversa de una matriz. Obtenido de Superprof: https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/algebralineal/determinantes/matriz-inversa.html

Multiplicación de matrices. (s.f.). Obtenido de PyE: https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/multiplicar-matrices-producto-matricial-ejemplos-explicados-propiedades-matriz.html

Propiedades de la suma de matrices. (s.f.). Obtenido de Khan Academy: https://es.khanacademy.org/math/precalculus/x9e81a4f98389efdf:matrices/x9e81a4f98389efdf:properties-of-matrix-addition-and-scalar-multiplication/a/properties-of-matrix-addition

Rodó, P. (s.f.). Diagonal principal. Obtenido de Economipedia : https://economipedia.com/definiciones/diagonal-principal.html

Rodó, P. (s.f.). Resta de matrices. Obtenido de Economipedia: https://economipedia.com/definiciones/resta-de-matrices.html#:~:text=La%20resta%20de%20matrices%20es,estas%20tengan%20el%20mismo%20orden

Sistema de ecuaciones | Teoría y ejercicios. (3 de junio de 2016). Obtenido de YO SOY TU PROFE: https://yosoytuprofe.20minutos.es/2016/06/03/sistema-de-ecuaciones/

 

 

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